定义

堆（Heap）是一种特殊的树。

  • 堆是一个完全二叉树；
  • 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

最大堆（max heap）：每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆。
最小堆（min heap）：每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆。

操作

完全二叉树比较适合用数组来存储，数组存储非常节省存储空间。因为不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)

插入

往堆中插入一个元素，我们需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程叫作堆化（heapify）。

堆化，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

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public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标 1 开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数
 
  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }
 
  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap() 函数作用：交换下标为 i 和 i/2 的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
}

删除

最大堆，当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。

最小堆，操作类似，只是元素变为第二小的元素，然后依次迭代。

简化实现，删除元素后，将最后一个节点放到删除位置，然后利用同样的父子节点对比方法，进行堆化。

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public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}
 
private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

应用

堆排序